Il est possible de démontrer concrètement
les formules pour l'aire de solides à faces planes, puisqu'on peut les
développer. Or, il n'existe aucun développement pour la sphère,
ce qui veut dire qu'on ne peut pas mettre à plat sa surface.
Ce problème se répercute
en géographie, où on essaie souvent de réaliser une carte
d'une partie de la surface de notre planète. Ces cartes sont toujours
plus ou moins réalistes, car on doit déformer la surface pour
la mettre dans un plan.
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Il est néanmoins possible d'élaborer et de démontrer une formule pour l'aire de la sphère en utilisant le calcul intégral, une technique généralement discutée au niveau collégial. Dans ce cas-ci, elle consiste à envelopper la sphère dans une très longue et très fine bandelette de papier. En supposant que cette bandelette est infiniment fine, on peut croire qu'elle enveloppe parfaitement la sphère.
On obtient que l'aire
de la sphère est quatre fois plus grande que l'aire du plus grand cercle
qui peut y être logé. Cela signifie que si on coupait la sphère
en deux parties égales et qu'on regardait l'aire du cercle formé
(qui a le même rayon que la sphère), alors ce cercle aurait une
aire du quart de celle de la sphère initiale. La formule de l'aire de
la sphère est donc :
